Ley de senos y cosenos

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las  funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»

 

Identidades  Pitagoricas

La palabra identidad significa que existe una igualdad entre letras que se cumple con cuales quiera que sean los valores numéricos que se les asigne a estas. Las identidades son las igualdades de expresan las propiedades de las operaciones o de los símbolos operativos.

Para las funciones trigonométricas existen 8 identidades fundamentales que se pueden ordenar en 3 grupos.

Identidades reciprocas

1) sen- cos=1

2) cos-sec=1

3) tan-cot=1

Identidades de Divisiòn

4) tan=sen/cos

5) cot=cos/sen

Identidades Pitagoricas

6) sen2 + cos2 =1

7)1 + tan2=sec2

8)1 + cot2=csc2

Funciones Trigonométricas  Inversas

Signos de las funciones trigonometricas,para encontrar los signos de las funciones trigonometricas en los diferentes cuadrantes debemos comenzar por considerar que la distancia de cualquier punto al origen siempre sera positiva.

CUADRANTES

1er 2do 3er 4to

Cuadrante cuadrante cuadrante cuadrante

Seno + + - -

y coseno

Coseno + - - +

y secante

Tangente + - + -

y cotangente

Razones 150, 210,330 son iguales en 30

Trigonometricas de 120, 240,300 valor a los ángulos 60

Los ángulos de 135, 225,315 de 45

Razones trigonometricas de un ángulo en general.

Sen=ordenada/distancia=y/d

Cos=abscisa/distancia=x/d

Tan=ordena/obscisa=y/x

Csc=distancia/ordenada=d/y

Sec=distancia/obscisa=d/x

Cot=obscisa/ordenada=x/y

http://www.youtube.com/watch?v=sxaLqvOnFFg&feature=list_related&playnext=1&list=SPF78C76BB87B6393A

Calculo de los Valores 30º,45º,60º.

Para determinar las razones trigonometricas de los ángulos de 30º y 60º, se traza un triangulo equilatero ABD de dos unidades por lado, con una unidad de longitud adecuada;por ejemplo; enseguida se traza una perpendicular a la base del segmentoAD del triangulo desde el vértice D.

Cada uno de los ángulos de un triangulo equilátero tiene un valor de 60º asi, que dividimos uno de sus ángulos a la mitad, tendremos de 30º en cada triangulo formado los valores de los ángulos internos de cada triangulo congruente son 30º+60º+90+=180

De la definición de las razones trigonometricas para un angulo agudo.

sen 60º=raiz 3/2=cos 30º

cos60º=1/2=sen 30º

tan 60º=raiz 3/1=raiz 3=cot 30º

cat 60º=1/raiz 3=tan 30º

sec 60º=2/1=2=csc 30º

csc 60º=2/raiz 3=sec 30º

De las definiciones de las razones trigonometricas para un angulo agudo.

sen 45º=1/raiz 2=raiz 2/2

cos 45º=1/raiz 2=raiz 2/2

tan 45º=1/1=1

cat 45º=1/1=1

sec 45º=raiz 2/1=raiz 2

csc 45º=raiz 2/1=raiz 2

                  TEOREMA DE COSENOS

Aplicaciones de estos teoremas para calcular distancias

Calcular una altura desconocida a cuyo pie no se puede llegar

Problemas de aplicación

 

a) a = 1792 m b = 4231 m c = 3164 m Solución: A = 22,75º B = 114,3º C = 42,95º

b) a = 12 m b = 8 m A = 150º Solución: c = 4,27 m B = 19,46º C = 10,53º

c) a = 72 m b = 57 m C = 75,78º Solución: c = 80,12 m A = 60,6º B = 43,62

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

 cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

           

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

b² = a² + c² − 2ac * cos(B) 

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)